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微分幾何在機(jī)器人抓取中的應(yīng)用(一)

2019-3-4  閱讀(563)

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微分幾何基礎(chǔ)

微分幾何是現(xiàn)代數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的重要分支,在理論探索和實(shí)際應(yīng)用中都是重要學(xué)科。大名鼎鼎的高斯、歐拉是微分幾何學(xué)派的創(chuàng)建者(是否記得多少公式和定理以這兩人的名字命名)。20世紀(jì)是微分幾何發(fā)展迅猛的100年,中國(guó)的數(shù)學(xué)家也做出過(guò)重要貢獻(xiàn),如陳省身、邱成桐(菲爾茲獎(jiǎng)得主)。在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域,微分幾何是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的基礎(chǔ),逼真酷炫的電腦游戲、電影等,都是在微分幾何基礎(chǔ)上的產(chǎn)業(yè)化。在機(jī)器人領(lǐng)域,核心控制系統(tǒng)需要合適的傳感器(如相機(jī))獲取信息,并理解環(huán)境信息,屬于計(jì)算機(jī)視覺(jué)的范疇;如需完成復(fù)雜動(dòng)作,如抓取、放置等操作,則需要理解物體的幾何信息,需要用幾何特征描述來(lái)決策機(jī)器人要執(zhí)行的動(dòng)作。

完成機(jī)器人抓取需要如下兩個(gè)過(guò)程:
·識(shí)別過(guò)程,屬于視覺(jué)和深度學(xué)習(xí)的范疇,在此不再贅述。
·獲取物體的三維空間描述,微分幾何。
三維空間中的物體有哪些特征呢?
 

曲率

為理解曲率,首先回到二維平面。什么是曲率?簡(jiǎn)答說(shuō)來(lái),是幾何體的不平坦程度。平面曲線的曲率定義為其密切圓的倒數(shù)。采用微分的定義,密切圓在很小的范圍內(nèi)同曲線重合。故平面中的圓所有點(diǎn)曲率一直,為半徑的倒數(shù),密切圓為其本身。直線曲率處處為0,因其密切圓半徑無(wú)窮大。


曲線的密切圓和密切圓半徑。曲率為半徑的倒數(shù)。


三維空間中可用曲率描述曲面。包括兩個(gè)主曲率、高斯曲率、平局曲率等。點(diǎn)的主曲率是通過(guò)此點(diǎn)曲線大和小曲率。高斯曲率為兩個(gè)曲率之積,平均曲率則是兩個(gè)主曲率之平均。

一些特殊情況,如負(fù)曲率,如馬鞍型,常見(jiàn)使用:冷卻塔,廣州塔。

二次曲線(Conics)和二次曲面(Quadrics)

二次曲線也稱圓錐曲線,其在數(shù)學(xué)上的定位為一個(gè)正圓錐面和一個(gè)平面的相切形成的曲線。其公司可表述為:


 

其中A,B,C不得皆等于0。故常見(jiàn)的圓、橢圓、拋物線等皆屬于二次曲線。

二次曲面則是三維空間中 zui常見(jiàn)的曲面,其一般公式為:

 

常見(jiàn)的二次曲面包括:


·橢球(Ellipsoid),形如

 

 

球體是橢球的一種特例


·雙曲面(Hyperbolic),形如

 

·圓錐體(elliptic cone),形如:

一些特殊二次曲面示例:

 

曲面擬合

在機(jī)器人抓取領(lǐng)域,一般采用深度相機(jī)作為傳感器。深度相機(jī)可直接獲取空間點(diǎn)云信息。對(duì)于特定物體的抓取,一般在檢測(cè)定位的基礎(chǔ)上,采用點(diǎn)云擬合的方式定位,從而獲取物體在深度相機(jī)坐標(biāo)系下的位置和姿態(tài)。常用的擬合有如下幾種:

·平面擬合。空間中的平面可由空間中一點(diǎn)和法向量唯yi確定。常用擬合方案有,主成分分析;小二乘法;隨機(jī)采樣法(RANSAC)。
·圓柱擬合。實(shí)際抓取場(chǎng)景中經(jīng)常碰到圓柱面物體的情況。實(shí)際點(diǎn)云擬合中,如果已知主軸方向,則可投影到平面中,做圓的擬合。如方向未知,可首先用PCA的方法確定主軸方向。

·球體擬合,看似復(fù)雜,實(shí)際只需確定圓心(一個(gè)點(diǎn))和半徑??偣?個(gè)自由度(未知變量),可使用小二乘法或數(shù)值*化方法來(lái)確定。

 

不規(guī)則形狀

 

機(jī)器人抓取的實(shí)際場(chǎng)景中,一般曲面較為復(fù)雜,很難用簡(jiǎn)單公式表述。對(duì)于復(fù)雜曲面(曲線),一般采用ICP(IterativeClosestPoint)的方案完成自由形狀的對(duì)齊。

總結(jié)

曲率是描述空間中的曲線或曲面重要的特征。一般來(lái)說(shuō),進(jìn)行機(jī)器人抓取,需要首先利用圖像信息確定物體的圖像位置,然后通過(guò)深度相機(jī)獲取的點(diǎn)云信息技術(shù)其幾何特性,完成抓取過(guò)程。曲面擬合和ICP的方案仍然有許多細(xì)節(jié),在機(jī)器人抓取中需要特別注意。

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