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精密絲杠加工誤差數(shù)學(xué)模型分析

2010年04月01日 18:51點(diǎn)擊：3186作者：賚特科技來(lái)源：昆山賚特新自動(dòng)化科技有限公司>>進(jìn)入該公司展臺(tái)

1 引言

精密絲杠是精密機(jī)床、數(shù)控機(jī)床及其它精密機(jī)械與儀器的重要傳動(dòng)裝置。為起到將旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換為直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的傳動(dòng)作用，對(duì)精密絲杠的精度、剛度、耐磨性等均提出了較高要求。為減小殘余應(yīng)力的影響，絲杠毛坯須經(jīng)球化退火處理，以獲得穩(wěn)定的球狀珠光體組織；為提高絲杠加工系統(tǒng)剛度，需采用高同軸度的跟刀架或?qū)椎容o助支承。引起絲杠加工誤差的主要影響因素為熱變形和殘余應(yīng)力。目前通常采用冷卻降溫法或熱變形補(bǔ)償法來(lái)提高絲杠加工精度。冷卻降溫法是通過(guò)直接降低精密絲杠的加工溫度以減小熱變形量；熱變形補(bǔ)償法則是通過(guò)建立絲杠加工時(shí)的熱變形數(shù)學(xué)模型或根據(jù)檢測(cè)加工結(jié)果由補(bǔ)償裝置對(duì)絲杠進(jìn)行誤差補(bǔ)償。采用數(shù)學(xué)建模與實(shí)際檢測(cè)相結(jié)合的方法進(jìn)行誤差補(bǔ)償對(duì)于提高絲杠加工精度效果較好。精密絲杠的熱變形主要源于砂輪磨削加工產(chǎn)生的環(huán)狀移動(dòng)熱源在絲杠上產(chǎn)生溫度分布引起的熱膨脹，因此在熱變形數(shù)學(xué)建模中需考慮的因素有：磨削熱形成的熱源特征、熱源的移動(dòng)性、熱量沿桿件的傳導(dǎo)特征、熱量的散熱特征等。此外，加工后的殘余應(yīng)力對(duì)絲杠尺寸的影響也不容忽視。

2 精密絲杠溫度分布數(shù)學(xué)模型的建立

數(shù)學(xué)建模時(shí)，首先需對(duì)精密絲杠作如下假設(shè)：①絲杠材料具有彈性、連續(xù)、均勻、各向同性的特性，且絲杠內(nèi)無(wú)初應(yīng)力（已經(jīng)過(guò)時(shí)效處理）；②絲杠螺紋部分的尺寸與絲杠直徑相比很小，其對(duì)絲杠內(nèi)部熱傳導(dǎo)的影響可忽略不計(jì)，即絲杠可簡(jiǎn)化為圓柱體；③絲杠兩端絕熱。磨削加工絲杠時(shí)所產(chǎn)生的磨削熱約有60%～95%被傳入被磨絲杠中。由于磨削速度*，熱量瞬間聚集在絲杠表面形成局部高溫，隨著砂輪沿絲杠軸向進(jìn)給，熱量向絲杠兩端及內(nèi)部傳導(dǎo)，同時(shí)與絲杠表面的冷卻介質(zhì)發(fā)生對(duì)流換熱。因此，絲杠磨削加工時(shí)的熱量傳播方式主要包括磨削表面所需表面能、殘留于表面和磨屑中的應(yīng)變能、砂輪的溫升、絲杠內(nèi)部的熱傳導(dǎo)、絲杠與冷卻介質(zhì)的對(duì)流換熱等。傳入絲杠內(nèi)部熱量的主要傳播方式為絲杠內(nèi)部熱傳導(dǎo)和絲杠表面與冷卻介質(zhì)的對(duì)流換熱。磨削絲杠時(shí)，可將砂輪視為環(huán)狀移動(dòng)面熱源，其在柱狀工件內(nèi)的熱量傳播方式。根據(jù)Fourier熱傳導(dǎo)基本定律，可求解此環(huán)狀移動(dòng)熱源所引起的絲杠各點(diǎn)位置溫度。絲杠內(nèi)部熱傳導(dǎo)可按非穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)的柱坐標(biāo)基本微分方程求解，即

∂T	=α（	∂²T	+	1	∂T	+	∂²T	）

∂τ		∂r²		r	∂r		∂z²

（3）

式中：T——絲杠各點(diǎn)溫度

τ——時(shí)間

α——絲杠熱傳導(dǎo)系數(shù)

r——絲杠半徑面熱源在柱狀工件內(nèi)的熱量傳播

初始邊界條件為

T|_τ=0=T₀（r,z）

（2）

-λ	∂T	\|_r=R=h（T_ω-T_∞）

	∂τ

（3）

式中：T₀——絲杠初始溫度，為常數(shù)

λ——材料的傳熱系數(shù)

h——與冷卻介質(zhì)相關(guān)的表面對(duì)流換熱系數(shù)

T_∞——冷卻介質(zhì)溫度

T_ω——絲杠表面溫度

以熱源為固定點(diǎn)建立移動(dòng)坐標(biāo)系，u=x-vt（v為熱源移動(dòng)速度），可得

{

∂	=-v	∂

∂τ		∂τ

∂²	=	∂²

∂x²		∂u²

（4）

聯(lián)立求解式（1）～（4）可得

T（r, z）=	T₀	∫	^∞	hJ₀（jfr）e^jλzsinωλ	dλ

	2π		_-∞	hJ₀（jfr）-jfJ₁（jfR）³λ

（5）

式中：J₀，J₁——0階和1階Bessel函數(shù)

ω——環(huán)狀熱源寬度

由式（1）解析算法計(jì)算絲杠各點(diǎn)溫度值非常繁瑣，故通常采用數(shù)值算法進(jìn)行近似計(jì)算。

上述計(jì)算方法建立在式（1）基礎(chǔ)上，式（1）的導(dǎo)熱微分方程是能量守恒定律的一種數(shù)學(xué)表達(dá)，但它僅考慮熱量在固體內(nèi)部傳導(dǎo)時(shí)的能量守恒狀態(tài)，并未包括對(duì)流換熱、輻射等其它熱傳播方式引起的能量分布狀況。因此，當(dāng)考慮對(duì)流換熱、輻射等熱傳播方式時(shí)，應(yīng)將其影響作為初始邊界條件對(duì)導(dǎo)熱微分方程的解進(jìn)行校正，如式（2）、（3）。式（3）中第三類(lèi)邊界條件包含絲杠表面溫度T_ω，其值需通過(guò)理論計(jì)算進(jìn)行預(yù)測(cè)，在實(shí)際加工中不易獲知。式（3）中的T_ω是針對(duì)特定的絲杠及環(huán)境條件通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)得的，計(jì)算出的理論預(yù)測(cè)解也只有在這些特定條件下才成立，而實(shí)際加工中絲杠的種類(lèi)、材料、尺寸精度等均不相同。此外，因式（5）計(jì)算過(guò)程復(fù)雜，通常采用數(shù)值逼近的近似算法，這也限制了它在生產(chǎn)上的應(yīng)用。本文基于能量守恒定律，考慮了對(duì)流換熱等不同熱傳播方式的影響，提出一種更為簡(jiǎn)便的解析計(jì)算方法。由于絲杠的直徑/長(zhǎng)度比較小，故可將計(jì)算模型看作求解面熱源在柱狀工件中引起的溫度分布。以dx

微元體為研究對(duì)象，左端單位面積、單位時(shí)間內(nèi)輸入的熱量為q_x，右端輸出熱量為	q_x	dx+q_x，即

	dx

dQ_in=πr²q_x

dQ_out=πr²（q_x+	dq_x	dx）

微元體的內(nèi)部存能項(xiàng)為

E_st=ρc	dT	dv=ρc	dT	πr²dx

	dt		dt

式中：ρ——材料密度

c——材料比熱容

ρc	∂T	——絲杠單位容積的內(nèi)能隨時(shí)間的變化速率

	∂t

當(dāng)砂輪磨削絲杠一段時(shí)間后，絲杠內(nèi)部熱量處于相對(duì)平衡狀態(tài)，此時(shí)的熱變形量相對(duì)穩(wěn)定，dT/dt≈0，故微元體內(nèi)部存能項(xiàng)E_st≈0。設(shè)絲杠冷卻介質(zhì)溫度為T(mén)₀，發(fā)熱系數(shù)為λ，則dx段從表面散失的熱量為

dQ=2πrλ（T-T₀）dx

在熱平衡狀態(tài)下，dQ_in-dQ_out=dQ，則有

d²	=	2λ	（T-T₀）

dx²		kr

T=T₀+ce

√

2λ

kr^x

+De

√

2λ

kr^x

當(dāng)x=∞，T=T₀時(shí)，由上式可得c=0，則有

T=T₀+De

√

2λ

kr^x

（8）

若磨削熱量有δQ傳入絲杠內(nèi)，且達(dá)到熱平衡后全部以絲杠發(fā)熱形式散失，考慮到熱源的熱量是向絲杠兩端傳播，則有

1	δQ=2πrα	∫	∞	（T-T₀）dx

2			₀

將式（8）代入上式，可得

δQ

2πr

√
	2λkr

因此有

（9）

式（9）即為絲杠各點(diǎn)溫度分布的解析計(jì)算式。磨削熱" 可在一定磨削條件下由經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算得出。

磨削加工絲杠時(shí)，面熱源以速度v沿軸向進(jìn)給，經(jīng)過(guò)t時(shí)刻后，位置為x的點(diǎn)相對(duì)于熱源的距離為x'=x-vt，將其代入式（9），可得絲杠各點(diǎn)溫度分布的解析計(jì)算式為

（10）

3 精密絲杠熱變形數(shù)學(xué)模型的建立

設(shè)絲杠的平均線(xiàn)熱膨脹系數(shù)為α。當(dāng)面熱源位于絲杠某位置時(shí)，絲杠處于熱平衡狀態(tài)，此時(shí)絲杠內(nèi)所含熱量對(duì)于該持續(xù)熱源來(lái)說(shuō)處于飽和狀態(tài)。當(dāng)該熱源移動(dòng)至另一新位置時(shí)，絲杠各點(diǎn)熱量將重新分配，因熱源穩(wěn)定提供一定熱量，故絲杠內(nèi)部所含熱量始終相等。由式

可得

可知，當(dāng)絲杠中的熱量相等時(shí)，無(wú)論熱量如何分布，絲杠的溫度總和仍相同。若持續(xù)熱源位于絲杠的不同位置，在絲杠上將產(chǎn)生不同的溫度分布函數(shù)f₁（x），f₂（x）且

設(shè)絲杠的平均線(xiàn)熱膨脹系數(shù)為α，則兩種溫度狀況下的平均熱變形量為因此 ΔL₁=ΔL₂

由此可知，當(dāng)采用平均線(xiàn)膨脹系數(shù)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，移動(dòng)熱源在任何位置引起的絲杠熱膨脹量均相同，因此可用固定熱源代替移動(dòng)熱源，從而可簡(jiǎn)化計(jì)算而不會(huì)影響計(jì)算精度。絲杠dx段的溫度為T(mén)-T₀，該段的熱變形量為

dL=α（T-T₀）dx

故絲杠全長(zhǎng)的熱變形量為

將式（9）代入，可得

（11）

4 殘余應(yīng)力對(duì)精密絲杠尺寸的影響

（1）殘余應(yīng)力引起的絲杠尺寸變化

殘余應(yīng)力對(duì)精密絲杠尺寸的影響在工程應(yīng)用中長(zhǎng)期被忽略，主要原因是這一影響在加工完畢后不易立即發(fā)現(xiàn)，而是表現(xiàn)為較長(zhǎng)時(shí)期的緩慢作用。絲杠經(jīng)較長(zhǎng)時(shí)間使用后，相當(dāng)于進(jìn)行了自然時(shí)效處理，絲杠中的殘余應(yīng)力逐漸釋放和減小，絲杠尺寸也會(huì)隨之發(fā)生變化，甚至可能引起較大變形。

假定絲杠為*彈性體；絲杠的切向殘余應(yīng)力為σ_θ，軸向殘余應(yīng)力為σ_z，徑向殘余應(yīng)力為σ_r；加工后絲杠的標(biāo)準(zhǔn)尺寸為半徑r₀，長(zhǎng)度L₀；經(jīng)自然時(shí)效處理后，絲杠的半徑和長(zhǎng)度分別由r₀、L₀變?yōu)閞、L。可將絲杠看作尺寸為r的長(zhǎng)軸在應(yīng)力σ_θ、σ_z和σ_r作用下變形至r₀和L₀的平衡狀態(tài)。當(dāng)施加相反應(yīng)力-σ_θ、-σ_z和-σ_r時(shí)，因工件為*彈性體，故絲杠應(yīng)由r₀和L₀返回加工后的原狀態(tài)。

極坐標(biāo)空間的應(yīng)力物理方程為

（12）

式中：µ——材料的泊松比

E——材料的彈性模量

空間軸對(duì)稱(chēng)幾何方程為

（13）

求解式（12）、（13），可得絲杠的尺寸變化量為

（14）

由于徑向殘余應(yīng)力與其它殘余應(yīng)力相比很小，因此其影響一般可忽略不計(jì)。

（2）計(jì)算實(shí)例

已知：精密絲杠長(zhǎng)度L=1600mm，直徑r=60mm，彈性模量E=21×10⁴MPa，泊松比µ=0.26，磨削后的殘余應(yīng)力分布。橫坐標(biāo)h表示距表面深度（mm），縱坐標(biāo)σ表示殘余應(yīng)力（MPa），實(shí)線(xiàn)表示軸向應(yīng)力，虛線(xiàn)表示切向應(yīng)力。

求：由磨削殘余應(yīng)力引起的精密絲杠尺寸變化量。

解：計(jì)算時(shí)，將殘余應(yīng)力分布曲線(xiàn)簡(jiǎn)化為直線(xiàn)，則軸向應(yīng)力函數(shù)為

（15）

切向應(yīng)力函數(shù)為

（16）

由式（14）可得

同理可得

5 結(jié)語(yǔ)

在精密絲杠的磨削加工中，磨削熱是引起絲杠加工誤差的主要影響因素。絲杠熱變形的計(jì)算通常需要根據(jù)實(shí)際加工情況建立溫度分布數(shù)學(xué)模型，但實(shí)際加工情況的復(fù)雜性（如持續(xù)放熱移動(dòng)熱源）增加了數(shù)學(xué)建模難度。而基于能量守恒定律，采用平均線(xiàn)膨脹系數(shù)進(jìn)行計(jì)算，則只需考慮熱量含量相同的任一溫度分布狀況的熱變形計(jì)算，可在保持原有精度的前提下大大簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)模型，使絲杠熱變形的計(jì)算變得簡(jiǎn)潔、方便，因此在實(shí)際工程應(yīng)用中具有較高實(shí)用價(jià)值。

在精密絲杠使用一段時(shí)間后，因殘余應(yīng)力釋放引起的絲杠變形誤差也不容忽視，為此必須對(duì)磨削加工引起的殘余應(yīng)力分布狀況進(jìn)行計(jì)算，并據(jù)此進(jìn)行誤差補(bǔ)償。目前對(duì)磨削殘余應(yīng)力的研究多集中于對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析，而從理論上確定磨削加工殘余應(yīng)力分布狀況則是今后需要深入研究且具有應(yīng)用價(jià)值的工作。

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